Гёделизация и парадокс марионетки (ПМ).

[hitthelimit]

«Именно математика дает нам самое явное свидетельство тому, что процессы сознательного мышления включают в себя нечто, не доступное вычислению».

Пенроуз, «Тени разума».

 

Существует тонкий момент в понимании сущности ПМ. Уместным предисловием к этой проблеме можно считать книгу Пенроуза «Тени разума», в которой автор пытается всесторонне обосновать точку зрения, согласно которой человеческое мышление не является алгоритмической деятельностью.

Прежде любых алгоритмов и математики должна иметь место формализация¹. Основываясь на этом утверждении, я собираюсь показать связь между возможностью геделизации и пониманием ПМ.

Сначала обратим внимание на классический вопрос о возможности ИИ. Споры на эту тему неизменно заходят в тупик, и на сегодняшний день считаются в какой-то мере бессмысленными в профессиональных сферах. Со временем стало ясно, что на стороне человеческого интеллекта находится некий механизм, копирование которого алгоритмическими методами (а иные пока что не рассматриваются всерьез) на вычислительных машинах представляется невозможным. То, что Пенроуз в поисках возможного механизма неалгоритмической основы мышления дошел до квантового порога (макроскопические эффекты квантовой когерентности в микротрубочках нейронов), является на мой взгляд примечательным событием.

Такой подход для начала позволяет понять, что первичная разница между мышлением и его алгоритмическим симулированием лежит в способе выделения системы. Есть некоторая сложность понимания того, что алгоритмические экстраполяции в приложении к конструктам нашего мышления, таким, как системы ИИ, и собственно мышление — это процессы, использующие разные механизмы формализации. При этом первые можно назвать вторичными по отношению ко вторым.

Что это за механизмы формализации? Человеческие мышление маркирует все то, что уже формализовано, но каков механизм первичной формализации? Проблемы с ИИ начинаются тогда, когда становится понятно, что семантика собственной формализации, выполненной ИИ, никогда не будет признана совместимой с человеческой. Ранее я указывал на эту проблему на примере интеллекта дельфинов. Сегодня предпочитают говорить о прикладных горизонтах вычислительных систем, а не о «совместимости» интеллектов.

Я хочу обратить внимание на «ускользающую каузальность» в сфере психической активности человека в противовес «заданной каузальности» ИИ. Как только мы допускаем тот же механизм «ускользающей казуальности» для ИИ, то приходим к разрыву в интеллектуальной совместимости. Исходное же стремление человека навязать ИИ алгоритмическую основу, копирующую наше мышление, ожидаемо заводит нас в тупик.

Что я понимаю под «ускользающей каузальностью»?

Вспомним, как мы выделяем систему — мы делаем это произвольно, руководствуясь неким пред-заданным списком системообразующих факторов. Это настолько динамическая и условная операция, что она вместе со своей формализующей мощью сплошь и рядом вводит нас в заблуждение. В случаях с хорошо описанными функциями системы мы склонны забывать, что система выделена/ограничена условно. Самыми яркими примерами такого заблуждения являются человеческое мышление и идея ИИ. (Разумеется, их на самом деле очень много.) Удивительно, что очевидная неполнота описания столь сложных систем не настораживает нас, заставляя задаться простым вопросом: как именно мы ограничили систему, и не выплеснули ли мы вместе с грязной водой ребенка?

Компьютер является очень хорошим примером функционального выделения системы: мы без проблем, в соответствии с обстоятельствами, выделяем локальный софт, облачный софт, «железо», при случае можем мыслить это все вместе как единую систему, а иногда включаем туда и пользователя. Тем не менее, в случае с компьютером ограничения вроде как очевидны. Например, программы не могут само-модифицироваться неким неучтенным программистом образом. «Железо» не должно влиять на исполнение программ. И так далее. Эта «заданная каузальность» - случай, когда выход за пределы ограничений не предусматривается. Неполнота описания по Геделю для таких систем нас не напрягает до тех пор, пока не поднимается вопрос о конкуренции их с естественным интеллектом.

В случае с нашим мышлением дело обстоит не так просто.

Для психики/мышления система описана не полностью, и полный список ее системообразующих факторов не может быть составлен в принципе — в этом вся соль. Начнем с того, что список этот огромен, и некоторые его составляющие находятся в противоречии между собой по признаку соответствия какой-то одной, целостной формальной системе — совсем не так, как в случае компьютера, где малейшее отклонение от единой формальной концепции приводит к прекращению функции в целом.

Мозг сам составляет свой системообразующий список, исходя из имеющихся в его распоряжении формализаций. Однако мозг не делает эти формализации произвольным — читай доступным его анализу (да что там анализу — просто внутреннему отражению) - способом. Поэтому я называю каузальность мышления «ускользающей».

Причина этого, надо понимать, кроется в конструкции аппарата мышления как вычислительной машины — она принципиально иная, чем те концепции вычислительных машин, которые создает сам мозг. Если назвать способ нашего мышления «гёделизирующим», то системы, спроектированные им, не могут быть «гёделизирующими» без того, чтобы привести к неустранимому семантическому разрыву в коммуникации между ними. Тем не менее, они могут быть в принципе «гёделизирующими», ибо, как верно заметил профессор Преображенский «...Зачем нужно искусственно фабриковать Спиноз, когда любая баба может его родить когда угодно?». Разумеется, если мышление считать причастным к запуску процесса, приводящего к такому результату :)

Иными словами, если в систему включена вся ее структура, не ограниченная пред-заданным функциональным набором, то в такой системе не исключен процесс «гёделизации». Но так далеко сегодня мыслители пока что идти отказываются — сказывается тяжелое наследие дихотомического мышления и общепринятая в науке (но фундаментально порочная) концепция «наблюдателя»

Вернемся теперь к ПМ.

Его формальное представление в системе возникает только тогда, когда система может формализовать представление о себе как о части целого, в которое она входит. Представление о ПМ приводит (автоматически сопряжено) к требованию неограниченной гёделизации. Именно к этому удивительному феномену я обращаюсь в данном тексте.

Если в математике гёделизация ведет к расширению мощности описания, то в приложении к реальным системам это обозначает расширение списка системообразующих факторов за счет выявления более базовых элементов каузальной цепочки в функциональности системы. В качестве простой модели подойдет прямая линия с условной разделительной точкой, с одной стороны которой находятся формализации функций системы, уходящие вдаль от точки по мере увеличения степени их участия в разнообразных манипуляциях (сочетаниях), с другой стороны, для системы находится терра инкогнита, которая, однако, поставляет новые формализации за счет сдвига точки вглубь неизвестности.

Это совершенно примечательная модель, так как она не предусматривает никакого каузального действия со стороны имеющихся формализаций. Причина движения точки, если таковое происходит, никак не связано с формальной проявленностью системы, иными словами — с самой системой. Смещать точку — не наш свободный выбор.

Поэтому, не имеет никакого значения, где мы (система) поместим источник неалгоритмических функций мышления — в микротрубочках или где-то еще. Как только мы его где-то поместим, то обнаружим сдвиг точки, новый набор формализаций, но ПМ останется там же и в том же виде, что и раньше. Программа Пенроуза обречена на неудачу, во всяком случае, в ее философском аспекте. В математическом, впрочем, тоже.

В сфере интереса системы, имеющей представление о ПМ, таким образом, остается только движение точки-терминатора. Так как же быть с «пониманием» ПМ? ПМ «понимается» только тогда, когда происходит сдвиг точки, и только на это время. Приток новых формализаций в данном случае и есть понимание.

Я думаю, и этой мысли посвящен весь мой журнал, что движение точки-терминатора в сторону порождающей системный формализм каузальности является глобальным эволюционным процессом в проявленной реальности. Это не циклическая эволюция, это исполняющаяся математическая функция, имеющая предел. Нас сбивает с толку то, что нам кажется - исполнение носит и статистический, и вообще редкий на сегодняшний день характер. Статистичность (и кажущаяся хаотичность) процесса заставляет некоторых думать, что это не строго направленный процесс. А трудность его наблюдения и вовсе позволяет о нем не думать.

Между тем, расширение списка системообразующих факторов мышления человека, взятое де-факто на фоне реальной активности человека, а не как список-по-соглашению среди узких специалистов, слишком очевидным образом связан с комплексными изменениями в социуме, которые дали основание говорить о приближающейся сингулярности.

Вызывает удивление, что даже устраивая международные конференции по сингулярности, вопрос о вычислении фундаментальных причин происходящего неизменно сводят в лучшем случае к легко отслеживаемым причинам человеческой активности, что тривиально, а в худшем — к фантазиям на тему о радужных перспективах «после». Мне это чем-то напоминает веру в загробную жизнь.

¹Формализацией я называю здесь само-манифестацию, которая может быть включена в дальнейшие (более высокого уровня) само-манифестации. Так, на сегодняшний день нам не известны системы, которые бы включали в себя в формально описуемом виде волновые функции, и мы вынуждены включать только их статистическое описание. То же, что является каузальным для ВФ, и вовсе не подлежит пока никакому описанию. («Описание» - включенность в само-манифестацию (См. предыдущий пост)).

 

Comments

[hitthelimit.livejournal.com]

Нет ограничений — ничего не понимает — подмочил репутацию - это понятно.

«"геделизацией" обычно называют геделевский алгоритм нумерации высказываний»
Есть контекст — какие проблемы?

[kaktus77.livejournal.com]

== это понятно.

Конечно, он, судя по всему, не слышал даже про Генцена.
Странно только, что Вас в гугле забанили.

[hitthelimit.livejournal.com]

Я не случайно сослался на контекст темы — логики высших порядков вводят новую семантику и не имеют полноты по определению. Таким образом, возникает вопрос к понятию «доказательство». Это, безусловно, интересно, но я предпочел бы придерживаться темы.

[kaktus77.livejournal.com]

== и не имеют полноты по определению

Почему вдруг не имеют? - вполне себе имеют. Конечно, понятие полноты там будет несколько другое, но почему мы должны ограничиваться чисто финитными понятиям?
Или это у Вас религия такая и надо жить по канону?

== но я предпочел бы придерживаться темы.

Так в чем тема-то? Теорема Геделя и всё, что вокруг неё, имеет смысл только в рамках финитной программы обоснования математики. Вне этих рамок она не имеет ни малейшего смысла. Она не только к мышлению, но к математике не имеет никакого отношения (вне вот этой финитной программы).

Так что такое "геделизация" тогда - это выход за рамки гильбертовской финитной программы? Так её еще в 30-е годы похоронили, и даже усилия Генцена по её спасению никто не оценил. Гедель - это история (мета)математики, и ничего там больше нет.

[hitthelimit.livejournal.com]

«почему мы должны ограничиваться чисто финитными понятиям?»
Иходя из контекста моей темы: если бесконечности и приложимы каким-то образом к интерпретациям реальности, то это надо очень аккуратно показать. Физики, к примеру, все не-финитные случаи в математическом описании явлений называют «дурной бесконечностью» и считают это индикатором неадекватности описания.
Пенроуз правильно использовал теорему Геделя о неполноте в контексте своих усилий. Он поставил совершенно конкретный, практический вопрос: где находится источник решений, позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы.
Общие проблемы математики, на которые вы справедливо обратили внимание, не имеют к этому вопросу прямого отношения, если только вы не сможете убедительно показать обратное.

[kaktus77.livejournal.com]

=== Физики, к примеру, все не-финитные случаи в математическом описании явлений называют «дурной бесконечностью»

??? Кто это Вам сказал :) Вы еще скажите, что они числом пи не пользуются. Дурная бесконечность - это когда ряд не сходится, а про финитность они и знать не знают, как и математики, впрочем. Это ведь всего лишь выдумка Гильберта.

== позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы.

Т.е. в современной математике не существует формальных систем. Я правильно понял? Ведь большинство доказательств в математике не финитно.

[hitthelimit.livejournal.com]

Чем пользоваться для решения, и что иметь в решении в естествознании имеет значение. Бесконечность в математическом решении в естествознании недопустима.
То, что в современной математике используются нефинитные методы, никак не противоречит поискам Пенроуза: важно, какие решения относительно реальных функций вы будете получать. Более того, тот факт, что мышление пришло к необходимости использования нефинитной математики делает вопрос Пенроуза законным.
Другое дело, если вы хотите сказать, что нефинитность разрешает алгоритмический тупик для систем типа ИИ, и моделирование всех функций мышления формальными методами более не считается проблемой... Тогда есть о чем поговорить.

Нефинитность в математике не тождественна неформальности вообще. Разве что намеренно допускается путаница с гильбертовским формализмом. Я говорю о формальном описании функций реальных систем, выполняемом ими самими. Вы же выступаете в роли стороннего «независимого» наблюдателя, что невозможно по определению правил выделения системы: психика, аппарат мышления выделяет себя, испытывая именно те проблемы, на которые указывает расширенное толкование теорем Геделя. (Разумеется, сами теоремы при этом используются только лишь как смысловые модели).

[kaktus77.livejournal.com]

== Бесконечность в математическом решении в естествознании недопустима.

Да откуда Вы это взяли? Весь анализ - это работа с бесконечным. Без бесконечного физика просто невозможна.

А анализ, между прочим, в принципе не финтитен. Финитная физика (т.е. физика не пользующаяся прямо или опосредовано понятием актуальной бесконечности) опять же невозможна.

== важно, какие решения относительно реальных функций вы будете получать.

При чем тут решения вообще? Финитность - это про подход к доказательству, а не про "решения".
Т.е. когда говорят об геделевских ограничениях, то имеют в виду, что средства для доказательства ограничены определенными рамками, за которые запрещено выходить.

Физики тут вообще ни при чем, поскольку, во-первых, она не занимается доказательствами, во-вторых, им пофиг как обосновывались те или иные формальные системы, которыми они пользуются, лишь бы это работало.

А что Вы называете "финитностью" я вообще перестал понимать. Что такое у Вас - эта самая мистическая "финитность"?

= Более того, тот факт, что мышление пришло к необходимости использования нефинитной математики делает вопрос Пенроуза законным.

??? Не понял. Во-первых мышление туда не приходило, математика всегда была нефинитной. Во-вторых, как связана нефинитность математики с утверждениями П. про финитные системы?

== Нефинитность в математике не тождественна неформальности вообще

Тогда Вы не имеете оснований говорить:

"Пенроуз правильно использовал теорему Геделя о неполноте в контексте своих усилий. Он поставил совершенно конкретный, практический вопрос: где находится источник решений, позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы."

Поскольку ТГ не про любые формальные описания, а только про финитные (которые никому не интересны).

[hitthelimit.livejournal.com]

«Без бесконечного физика просто невозможна.»

Хороший пример, возможно, поможет мне разобраться в ваших аргументах.

«А анализ, между прочим, в принципе не финтитен. Финитная физика (т.е. физика не пользующаяся прямо или опосредовано понятием актуальной бесконечности) опять же невозможна.»

Я не возражал против методов анализа. Я все время говорю о решениях (в естествознании).

«Финитность - это про подход к доказательству, а не про "решения".»

Хорошо, разделим это так. Не возражаю. Это не сказывается на смысле того, что я говорю.

«...лишь бы это работало»

В теоретической физике все не так просто.

«Во-первых мышление туда не приходило, математика всегда была нефинитной.»

Т.е., математика была дана людям на скрижалях?

«Во-вторых, как связана нефинитность математики с утверждениями П. про финитные системы?»

Я не хочу быть испорченным телефоном в случае с Пенроузом. Речь, насколько я понимаю, и уже обращал ваше внимание на это, идет о конкретном явлении, о котором Пенроуз пишет следующее:

«QI9. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления высказывания G (F) к любой системе F, какой мы в данным момент пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?
Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему F можно также обозначить через fq.) Теперь мы можем добавить к системе fi высказывание G(Fi), получив в результате новую систему ¥2, также, предположительно, обоснованную. Повторив данную процедуру, т. е. добавив к системе F2 высказывание G (F2), получим систему fs и т. д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему ¥ш, аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное множество высказываний {G (F0), G (Fi), G (F2), G (F3), ...}. Очевидно, что система ¥ш также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе ¥ш добавляется высказывание G(FW), в результате чего получается система Fw+1, к которой затем добавляется высказывание G (Fw+i), что дает систему ¥ш+2, и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему ¥ш2 (= ¥ш+ш), включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания G (F^), получим систему Fw2+i и т. д., а потом построим новую систему Fw3(= ¥ш2+ш}, включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему ¥ш±, после следующего повтора — систему ¥ш5 и т. д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это множество новых аксиом {G (F^), G (F^), G (Fw3), G (F^), ...} в новую формальную систему ¥шз(= ¥шш). Повторив всю процедуру, мы получим новую систему ¥шг+шз, затем — систему ¥Ш2+Ш2+Ш2 и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе ¥шз, которая также должна быть обоснованной.

[hitthelimit.livejournal.com]

Окончание.

Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от подобных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за незнания точного значения этих символов. Достаточно сказать, что описанную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее: мы получим формальные системы Fw<, F^s, ..., после чего придем к еще более обширной системе Fw«/, затем процесс продолжается до еще больших ординалов, например, шш" и т. д. — до тех пор, пока мы все еще способны на каждом последующем этапе понять, каким образом систематизировать все множество гёделизации, которые мы получили на данный момент. В этом и заключается основная проблема: для упомянутых нами «усилий, трудов и напряжений» требуется соответствующее понимание того, как должно систематизировать предыдущие гёделизации. Эта систематизация выполнима при условии, что достигаемый к каждому последующему моменту этап будет помечаться так называемым рекурсивным ординалом, что, в сущности, означает, что должен существовать определенный алгоритм, способный такую процедуру генерировать. Однако алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех рекурсивных ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует. Нам снова придется прибегать к пониманию.
Вышеприведенная процедура была впервые предложена Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации (а опубликована в [367])'8); там же Тьюринг показал, что любое истинное Щ-высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью многократной гёделизации, подобной описанной нами. (См. также [116].) Впрочем, воспользоваться этим для получения механической процедуры установления истинности ГЦ -высказываний нам не удастся по той простой причине, что механически систематизировать гёделизацию невозможно. Более того, невозможность «автоматизации» процедуры гёделизации как раз и выводится из результата Тьюринга. А в §2.5 мы уже показали, что общее установление истинности (либо ложности) ГЦ-высказываний невозможно произвести с помощью каких бы то ни было алгоритмических процедур. Так что, в поисках систематической процедуры, не доступной тем вычислительным соображениям, которые мы рассматривали до настоящего момента, многократная гёделизация нам ничем помочь не сможет. Таким образом, для вывода £f возражение Q19 угрозы не представляет.»

Еще раз обращаю ваше внимание: речь идет об очень конкретной процедуре над реальной системой, а не о методах и проблемах математики, в которых вы, безусловно, разбираетесь.

«Поскольку ТГ не про любые формальные описания, а только про финитные (которые никому не интересны).»

Кажется, приведенная выше цитата из Пенроуза отвечает на ваш вопрос. ТГ дает нам принцип, который нефинитность не обходит, когда речь заходит об анализе реальных систем. Нефинитность — это как раз то масло, которое на хлеб не намажешь.

[kaktus77.livejournal.com]

== Кажется, приведенная выше цитата из Пенроуза отвечает на ваш вопрос.

У П. здесь незамутненный наукообразный бред. Практически, клинический.
Хотя, возможно, и переводчик поучаствовал, это надо всегда иметь в виду.

Если Вам интересно, могу конкретно расписать, что смешалось в его воспаленном мозгу и в каких пропорциях. Но в следующем году :)

С Новым годом!

[hitthelimit.livejournal.com]

С Новым годом!

[kaktus77.livejournal.com]

Детали :)

Прежде всего придется вспомнить про то, что делали Гедель и Тьюринг, на которых всё время ссылается П., буквально в двух словах.

Г. имел дело с формализацией доказательств а рамках гильбертовской программы обоснования математики. Таким образом, если говорить о теореме Геделя и всем таком, то надо понимать, что здесь Г. всегда имеет дело с двумя формальными системами - исходной (скажем система аксиом арифметики), назовем её I, и формальной системы доказательств, которые проводятся над исходной системой - S.
И те рассуждения (неформальные доказательства), которые проводит Г., относятся именно к этой системе S.

Здесь важно обратить внимание, как именно устроена эта вторая система (S) - для неё берутся те же аксиомы, что и для I, плюс правила вывода - логика первого порядка (или эквивалентная этой логике алгоритмическая машина у Тьюринга). Т.е. по существу I обосновывается сама из себя, что собственно и приводит к ТГ для формальных систем, включающих индукцию. Г. по существу доказывает, что обычная, финитная (не допускающая актуальной бесконечности) индукция не может обосновать сама себя (трансфинитная может). В этом и состоит ТГ. (более простые ФС, скажем, аксиомы арифметики без индукции, вполне обосновываются по Геделю, он сам это и доказал)

ТГ доказывается как раз через "геделизацию" (обратите внимание) всех высказываний S, т.е. всех возможных высказываний, формализующих доказательства теорем искомой системы (арифметики). Геделизация - это здесь особый алгоритм нумерования высказываний, когда уникальный номер (число, но ни в коем случае не ординал!) каждого высказывания выводится из состава и структуры самого этого высказывания.
После этого Г. строит такое число-высказывание, которое не выводимо в S, что и доказывает невозможность одновременной геделевской полноты и непротиворечивости для I, включающих арифметику (с финитной индукцией).

[kaktus77.livejournal.com]

продолжение

Теперь можно перейти к ляпам П.

1) == мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы

??? Высказывание - это конструкция внутри той или иной системы аксиом, логической модели. "Добавление" высказывания (в рамках модели) - это одно, а изменение модели, добавление аксиомы - это совсем другое. Никакого такого формального "понимания", как добавить аксиому быть не может в принципе.

2) == и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной.

С какого перепоя? П. мало того, что перепутал понятия "высказывание" и "аксиома", так он еще и не понимает самого главного: новая аксиома - это новая ситуация, и все теперь должно обосновываться заново. Это ж совершенно очевидно. Так, возьмем, например, систему Пеано без индукции, Г. доказал, что она независима и полна (по Геделю, или, если угодно, по Гильберту). Но если мы добавим сюда аксиому индукции, то уже обосновать эту систему аксиом по Геделю невозможно.

Скорее всего, здесь П. "вспомнил" про то, что Гедель добавлял высказывания в качестве аксиом. Но там-то имелась в виду прямо противоположная ситуация - геделевский невыводимый конструкт добавлялся в неполную, т.е. не обоснованную систему, после чего доказывалось, что она всё равно не может быть полной (по Геделю). Причем надо иметь в виду, что это неконструктивное доказательство, то бишь реально добавить такую аксиому мы не можем, у нас её нет. Доказывается только её существование.

3) ==Достаточно сказать, что описанную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее

Слышал звон, да забыл где. П. действительно говорит о геделизации, но в оригинале-то речь шла о высказываниях в рамках фиксированной системы аксиом S. Нумеровались высказывания, а не аксиомы. И геделизация у Г. - это по существу метод доказательства. Нумерация же ("геделизация" еще в одних кавычках) аксиом - это просто чушь. Т.е. пронумеровать - это как раз не проблема, но в этом нет никакого смысла. Зачем это делать?

4) ==Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел.

Да, мы поняли, что у П. хорошая память на слова и он рад щегольнуть терминами, но у Геделя как раз нет никаких ординалов, в принципе нет. Поскольку если нумеровать через ординалы, то получиться трансфинитная индукция, а теоремы о неполноте не получится. Генцен как раз и обосновал арифметику, заменив обычную индукцию одним их вариантов трансфинитной.

5) == Однако алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех рекурсивных
ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует.

Для ординалов как раз и существует (если, конечно, помнить, что это про высказывания из S, а не про какие-то мифические аксиомы). Пальцем в небо.

Собственно, и для обычных числе вполне существует (если не пользоваться актуальной бесконечностью - совершенно непонятно, зачем П. берет мно-во всех "высказываний-аксиом" и что-то там пытается с этим делать. Видимо, опять где-то что-то слышал, но забыл где). Не может не существовать, для этого ведь и проводится геделизация - всем возможным высказываниям над S присваевается номер формальным образом.

В общем, П. просто не понимает, что пишет, перемешал всё до полной потери смысла.
Чего тут вообще обсуждать?

[hitthelimit.livejournal.com]

Ваше замечание по пункту 1) совершенно верно, но, кажется, не относится к цитате из П. Возможно, насчет «высказывания» аксиомы — это неточный перевод, однако нам четко сказано, что речь идет о добавлении аксиомы. Это наша прерогатива — создавать наборы аксиом, не так ли? Разумеется, добавление аксиомы не связано с «формальным пониманием», но и П. не пишет ничего такого, а как раз наоборот.

«новая аксиома - это новая ситуация, и все теперь должно обосновываться заново»

Разумеется, но разве именно не об этом пишет П.? Говоря об «очевидной обоснованности» он, надо полагать, имеет в виду принципиальную обоснованность в рамках нового набора аксиом, а не заданную конкретную, как ссылаетесь вы в своем примере с системой Пеано с аксиомой индукции. П. говорит о принципе. Какая тут проблема?

«добавлялся в неполную, т.е. не обоснованную систему»

Так вот в чем дело. Теперь, кажется, вы неправомерно отождествили «неполноту» и «необоснованность» - это совершенно разные вещи. Процедура называется обоснованной, если она дает верный ответ, в частности, относительно неполноты.

«в оригинале-то речь шла о высказываниях в рамках фиксированной системы аксиом S»

Но я сразу обратил ваше внимание на применение Пенроузом принципа геделевской непоноты, а не самой теоремы — он сам об этом пишет. Нам-то кто запрещает добавлять аксиомы?

«у Геделя как раз нет никаких ординалов»

Но это неважно, П. их ему не приписывает. Он говорит:



«Многое говорит за то, что результаты Гёделя демонстрируют нечто большее, — а именно, доказывают, что способность человека к пониманию и постижению сути вещей невозможно свести к какому бы то ни было набору вычислительных правил. Иными словами, нельзя создать такую систему правил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже тех арифметических положений, истинность которых, в принципе, доступна для человека с его интуицией и способностью к пониманию, а это означает, что человеческие интуицию и понимание невозможно свести к какому бы то ни было набору правил.»

У вас есть возражения против этого?

« получиться трансфинитная индукция»

Так я у вас и спрашиваю: метод трансфинитной индукции решает проблему ИИ (неалгоритмичности мышления)?

«обосновал арифметику»

Вы хотели сказать «доказал полноту»? Что может означать фраза «обосновать арифметику»?

«Чего тут вообще обсуждать?»

Спасибо за подробный разбор. К сожалению, он меня не убедил. Замечания типа «Пенроуз слышал звон», «Пенроуз забыл» этому не способствовали. Я вынужден принимать во внимание все составляющие информационной картины: П. возглавляет кафедру математики Оксфордского университета, более того, он известен как математик, более того, его цитируемая книга рецензировалась другими математиками, и ляпы, подобные «обнаруженным» вами тут просто не прошли бы. П. имеет репутацию пунктуального и дотошного ученого в среде профессионалов, что он неоднократно доказывал. Положения, которые он высказал в книге, формально не опровергнуты, хотя и не считаются вполне доказанными (он сам об этом говорит). В любом случае, это не на уровне «слышал звон». Возможно, вы представляете альтернативные взгляды, в том числе и на математику, тогда об этом не мешало бы сказать в самом начале, так как тема не является чисто математической, и вы просто сбиваете с толку :) Возможно, вы не знакомы с этой книгой, где сохраняется терминологическая консистентность, несмотря на возможные ляпы перевода.
Тем не менее, спасибо за обсуждение.

[kaktus77.livejournal.com]

== Это наша прерогатива — создавать наборы аксиом, не так ли

Конечно. Но весь остальной текст не имеет тогда никакого смысла. Мы добавляем новую аксиому и получаем новую систему. Всё. Больше мы ничего не можем сказать, мы не знаем - полна ли теперь система, противоречива ли. Всё это требует специального и конкретного исследования, завязанного на содержание этих аксиом.

Весь остальной текст ни о чем.

== Процедура называется обоснованной, если она дает верный ответ, в частности, относительно неполноты.

Откуда вы взяли "процедуру"? П. говорит здесь об обоснованности формальной системы. Обоснованность ФС всегда понималась как одновременная непротиворечивость и полнота. Если П. использует слова нетрадиционным образом, тогда хотелось бы узнать, что тогда такое у него "обоснованность ФС".

== Нам-то кто запрещает добавлять аксиомы?

Конечно, добавление новой аксиомы останавливает предыдущее рассуждение, как я уже выше сказал. Или стройте рассуждение или добавляйте аксиому - одно из двух :)

== Но это неважно, П. их ему не приписывает

Вы не поняли, дело не в термине, П. говорит:

Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему ¥ш, аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное множество высказываний ...

Вот это и есть введение ординалов, т.е. трансфинитная конструкция - использование актуальной бесконечности. У Геделя такого хода как раз нет и не может быть.

== У вас есть возражения против этого?

Дык, все мои аргументы есть возражение против этого, по пунктно.

== Так я у вас и спрашиваю: метод трансфинитной индукции решает проблему ИИ (неалгоритмичности мышления)?

Я не обсуждаю проблемы ИИ, это вообще отдельная тема. Я здесь обсуждаю только рассуждение П. по этому поводу. И утверждаю, что никакого рассуждения там, собственно, нет, а есть только бессмысленный набор слов.

Что касается ИИ, то возможность/невозможность ИИ - это, имхо, псевдопроблема, обсуждать которую просто не следует. Вредно.

Стратегически верно считать, что человечество может сделать всё, что ему хочется. Другое дело - надо ли это делать, и что получается, когда это делают. Вот это правильные и интересные вопросы по отношению к ИИ (в частности), в отличие от вопроса про возможность.

== Вы хотели сказать «доказал полноту»? Что может означать фраза «обосновать арифметику»?

Доказал непротиворечивость и полноту арифметики.

== П. возглавляет кафедру математики Оксфордского университета

И называет теоремы аксиомами, как тут заметили :) Бред остается бредом, кто бы его не нес. Я доверяю своим глазам, а не чьим-то регалиям. Возможно, у Вас другие принципы. Что ж, каждому своё.

== Возможно, вы представляете альтернативные взгляды,

Ни в коем случае. Просто я почитывал и Геделя и Генцена. Эти спекуляции на ТГ надоели уже всем математикам, которые в этом понимают, они уже и на лекциях не сдерживаются :). Посмотрите, например, лекции Вавилова из МГУ (есть в сети - "не совсем наивная теория множеств")

[hitthelimit.livejournal.com]

“Эти спекуляции на ТГ надоели уже всем математикам, которые в этом понимают”

Вы меня не слышите... Математики понимают в математике — и только. Я понимаю их раздражение — у математических теорем строго ограниченная функция. С другой стороны, именно математика призвана описывать формализованные системы реальности. Кажется, это называется прикладной математикой. ТГ имеет свой аналог за пределами математики, и это не должно вызывать эмоций.

«Всё это требует специального и конкретного исследования, завязанного на содержание этих аксиом.»

А почему вы спорите об этом? Разумеется. Именно это и было целью — модификация исходной системы.

«Весь остальной текст ни о чем.»

Остальной текст о неалгоритмичности мышления (а не о ИИ, что вас так напрягает).

«П. говорит здесь об обоснованности формальной системы.»

Которая может быть выяснена только с помощью соответствующих процедур, верно? Иначе в чем ее «обоснованность»? Вы можете это описать так, чтобы при этом не подразумевалось никаких процедур? Это ли не нонсенс?

«Если П. использует слова нетрадиционным образом, тогда хотелось бы узнать, что тогда такое у него "обоснованность ФС".»

Возможно, я внес свою лепту в испорченный телефон.

«Или стройте рассуждение или добавляйте аксиому - одно из двух»

Возможно, в математике так и есть. Однако, если система описывает саму себя, то рано или поздно она сталкивается с невозможностью каких-то процедур, которые можно преодолеть за счет расширения мощности системы. Как именно расширить мощность — это не отражается алгоритмическим способом прежней системы. Разговор идет только об этом. Возможно, разговор о ТГ в данном контексте имеет шероховатости, но при вашей концентрации на математическом формализме мы никогда не сдвинемся с мертвой точки в теме.

«все мои аргументы есть возражение против этого»

Т.е., вы знаете, как человеческие интуицию и понимание можно свести к какому бы то ни было набору правил? Тогда почему бы нам не сделать (виртуально) такую машину Тюринга, которая бы давала нам ответ об остановке?

«Я не обсуждаю проблемы ИИ»

Я тоже, там в скобках стояло: «неалгоритмичность мышления» - это тема поста. И тема книги П. Если вам это не интересно, то что мы тут обсуждаем?

«Другое дело - надо ли это делать»

Т.е., вы сторонник свободы выбора?!..

«Я доверяю своим глазам»

И вы знакомы с оригиналом текста...

««Возможно, вы представляете альтернативные взгляды...» - Ни в коем случае. Просто я почитывал и Геделя и Генцена»

Тогда, возможно, вы знаете, как отвечать на все вопросы методами одной науки, или уверены, что вопросы за ее пределами просто не существуют? Знаете ли вы в таком случае формализм своего мышления исчерпывающим образом? Как вы к этому пришли?

[kaktus77.livejournal.com]

== Вы меня не слышите... Математики понимают в математике — и только

Странно, что Вы считаете всех математиков идиотами :) Я говорю про тех умных математиков, которые просто знают, что ТГ - это очень частный результат в области, которая и в самой математике-то имеет ничтожное значение (да никакого уже давно не имеет). Всё остальное - чистый пиар.

Это даже не вопрос понимания, это вопрос знания.

К процессам формализации в математике там, или еще где, ТГ не имеет никакого отношения. Мне просто жалко того времени, которое тратите Вы и другие на эту ерунду. Дело Ваше, конечно, можете и дальше участвовать во всех этих мистификациях, но раз уж разговор об этом зашел, то я посчитал нужным выразить своё имхо.

== ТГ имеет свой аналог за пределами математики,

Не имеет.

== А почему вы спорите об этом? Разумеется. Именно это и было целью — модификация исходной системы.

О чем Вы вообще? У меня складывается такое впечатление, что Вы не читаете мои реплики, а просто продолжаете говорить о чем-то своем. Объясните тогда хотя бы - о чем? :)

== Которая может быть выяснена только с помощью соответствующих процедур,

И что? какое это имеет отношение? Речь шла о том, что говорит П., как он строит свое "рассуждение". А то, как обосновываются формальные системы, - это совсем другая тема. Не надо подменять тезисы, это уж очень дешевый трюк.

== Как именно расширить мощность — это не отражается алгоритмическим способом прежней системы.

Конечно, не отражается. Но это же банальность, зачем говорить всякие заумные глупости (это я про П.), чтобы "обосновать" то, что просто не требует обоснования. Здесь надо просто обсуждать понятие алгоритма, из него всё это и последует, автоматически.

== Остальной текст о неалгоритмичности мышления (а не о ИИ, что вас так напрягает).

Какая разница, Это Вы уже просто сужаете тему, используя какой-то там подход к вопросам ИИ. Поскольку сам этот подход, имхо, ложен, я его и не обсуждаю. А только обозначаю те рамки, которые делают подобный разговор осмысленным, имхо.

А алгоритмического мышления просто не бывает, если уж Вы так хотите услышать мою т.з. на этот вопрос. Это противоречие в понятиях. Бывает же алгоритмическая форма организации мышления - одна из форм, которых полно разных. Или бывают алгоритмы - как такие эпистемические организованности. И можно, конечно, обсуждать, как это устроенно, как развивается, и всё такое. Это темы интересные и содержательные, но Вы же этого всё равно не обсуждаете.

== И вы знакомы с оригиналом текста

Да какое мне дело до оригинала? Это Ваша зона ответственности. Вы предоставили текст, как то, на что Вы опираетесь, я этот текст и обсуждаю. А откуда он взялся мне вообще совершенно пофиг.

== Тогда почему бы нам не сделать (виртуально) такую машину Тюринга

Зачем это делать? И зачем думать над тем, чего делать не надо?

[hitthelimit.livejournal.com]

“ Вы же этого всё равно не обсуждаете.”

Я именно это обсуждаю — вы не даете возможности мне это делать :) Можно просто оставить в покое терминологическую утряску подхода третьей стороны (П.). Если нам самим удастся достаточно формально озвучить проблемы, поднятые в посте, это будет просто отлично. Например, я поддерживаю идею, что обсуждение понятие алгоритма в приложении к формализации мышления — неплохое направление. Тем не менее, меня настораживают ваши замечания типа «зачем это надо?». Это как если бы подозреваемый в преступлении на вопрос откуда в его квартире деталь одежды убитого заявлял, что нечего, мол придираться к таким мелочам, подумаешь, кусочек тряпки — у вас целый труп на руках, вот и ищите! Машина Тюринга в принципе не всегда может вычислить, есть ли конец у ее процедуры, а человек — может, иногда легко. Вопрос не в том, надо ли нам делать такую машину, практически, - вопрос в том, возможна ли она. Если нет, то почему. Если вам это не интересно (ваше право), то это и есть тот случай, что я сказал об узких интересах математиков — это никого не ставит в положение идиотов. Всякая система функционирует в соответствии со своей конструкцией, и вы, возможно, зря тратите здесь свое время.

[hitthelimit.livejournal.com]

Собственно, вот с чего начинает П.:

"Однако какое отношение имеют все эти замысловатые проблемы математики и философии математики к большинству вопросов, непосредственно касающихся, например, искусственного интеллекта? В самом деле, многие философы и поборники ИИ придерживаются достаточно разумного мнения, суть которого сводится к тому, что теорема Гёделя, безусловно, имеет огромное значение в своем исходном контексте, т. е. в области математической логики, однако в отношении ИИ или философии разума актуальность ее, в лучшем случае, весьма и весьма ограничена. В конце концов, не так уж и часто мыслительная деятельность человека оказывается направлена на решение вопросов, относящихся к первоначальной области применимости рассуждений Гёделя — аксиоматическим основам математики. На это возражение я бы ответил так: но ведь практически всегда мыслительная деятельность человека требует участия сознания и понимания. Рассуждение же Гёделя я использую для того, чтобы показать, что человеческое понимание нельзя свести к алгоритмическим процессам. Если мне удастся показать справедливость этого утверждения в каком-либо конкретном контексте, то этого будет вполне достаточно. Продемонcтрировав, что понимание каких-то математических процедур не поддается описанию с помощью вычислительных методов, мы тем самым докажем, что в нашем разуме происходит-таки что-то такое, что невозможно вычислить. А если так, то напрашивается вполне естественный вывод: невычислительная активность должна быть присуща и многим другим аспектам мыслительной деятельности."

[igor-dzhadan.livejournal.com]

Пенроуз под "аксиомами" понимает полный список выводимых истин ФС (аксиом и теорем), что легко понять, если хоть немного захотеть :) А трансфинитная индукция все таки ни разу не означает наличия конечного, то есть выполнимого на машине Тьюринга за конечное время алгоритма.

[kaktus77.livejournal.com]

== Пенроуз под "аксиомами" понимает полный список выводимых истин ФС (аксиом и теорем),

Огласите тогда, пожалуйста, весь список - что вместо чего он называет, поскольку придется много чего переименовывать, чтобы в этом появился хоть какой-то смысл.

Если вместо "аксиомы" написать "теоремы", то степень бреда только увеличится. Так, например, что тогда означает фраза:

"добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы теоремы и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной

В чем здесь сермяжный смысл?

== А трансфинитная индукция все таки ни разу не означает наличия конечного, то есть выполнимого на машине Тьюринга за конечное время алгоритма.

Конечно. Так же, как и финитная индукция не означает наличия выполнимого за конечное время алгоритма. Если Вы, конечно, не называете "индукцией" и "алгоритмом" что-то мне неведомое :)

[igor-dzhadan.livejournal.com]

=="добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы теоремы и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной

В чем здесь сермяжный смысл?==

- Ну, не надо из Пенроуза совсем уж дурака делать! Здесь он подразумевает именно новую аксиому, а не теорему. Но в общем, в тексте не различает аксиомы и теоремы, да и сам текст не строго математический а научно-популярный. Впрочем, на выводы эта некоторая путаница с терминами никак не влияет, так как сам он судя по всему, вполне себе различает, где утверждения, введённые непосредственно (аксиоматически), а где - выводимые посредством других (теоремы).

==Так же, как и финитная индукция не означает наличия выполнимого за конечное время алгоритма. ==

- Финитная - допускает, а трансфинитная - не предполагает наличия машинного алгоритма для её реализации в принципе.

[kaktus77.livejournal.com]

== Здесь он подразумевает именно новую аксиому,

Дык, я именно так это и понимал. Это же Вы стали делать из П. дурака, говоря, что он своих терминов не понимает :)

Почему это чушь, если понимать под аксиомами аксиомы, я уже здесь объяснял пару раз, так что повторяться не буду.

== а трансфинитная - не предполагает наличия машинного алгоритма для её реализации в принципе.

У Вас тут путаница некоторая. Индукция, любая, не предполагает машинной реализации, она не для этого, а только для построения рассуждения - доказательства.

Если говорить о машине Тьюринга, то это просто один из способов формализации рассуждения (доказательства) Причем любая формализация имеет смысл только в жестко заданных границах (которые с реальностью не коррелируют, совсем)

Поэтому (в частности) алгоритмы машины Т. к реальному программированию никакого отношения не имеют. Это я Вам как реальный программист говорю :) Так что если надо будет запрограммировать рассуждение, использующее трансфинитную индукцию, то никаких проблем, эта задача ничем не отличается от программирования обычной индукции.

[igor-dzhadan.livejournal.com]

Будем считать, что с Пенроузом разобрались: математику он понимает не хуже нас с Вами по крайней мере :)

Насчёт: ==У Вас тут путаница некоторая. Индукция, любая, не предполагает машинной реализации, она не для этого, а только для построения рассуждения - доказательства. ==

- Путаница похоже не у меня, а у того, кто соскальзывает с вопроса о реализуемости человеческих рассуждений на машине к вопросу о возможности непротиворечивых рассуждений (доказательств), как таковых.

==если надо будет запрограммировать рассуждение, использующее трансфинитную индукцию, то никаких проблем, эта задача ничем не отличается от программирования обычной индукции. ==

- И какими натуральными числами (в машинных кодах) обозначите трансфиниты?