Гёделизация и парадокс марионетки (ПМ).
Dec. 30th, 2013 09:46 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
hitthelimit«Именно математика дает нам самое явное свидетельство тому, что процессы сознательного мышления включают в себя нечто, не доступное вычислению».
Пенроуз, «Тени разума».
Существует тонкий момент в понимании сущности ПМ. Уместным предисловием к этой проблеме можно считать книгу Пенроуза «Тени разума», в которой автор пытается всесторонне обосновать точку зрения, согласно которой человеческое мышление не является алгоритмической деятельностью.
Прежде любых алгоритмов и математики должна иметь место формализация¹. Основываясь на этом утверждении, я собираюсь показать связь между возможностью геделизации и пониманием ПМ.
Сначала обратим внимание на классический вопрос о возможности ИИ. Споры на эту тему неизменно заходят в тупик, и на сегодняшний день считаются в какой-то мере бессмысленными в профессиональных сферах. Со временем стало ясно, что на стороне человеческого интеллекта находится некий механизм, копирование которого алгоритмическими методами (а иные пока что не рассматриваются всерьез) на вычислительных машинах представляется невозможным. То, что Пенроуз в поисках возможного механизма неалгоритмической основы мышления дошел до квантового порога (макроскопические эффекты квантовой когерентности в микротрубочках нейронов), является на мой взгляд примечательным событием.
Такой подход для начала позволяет понять, что первичная разница между мышлением и его алгоритмическим симулированием лежит в способе выделения системы. Есть некоторая сложность понимания того, что алгоритмические экстраполяции в приложении к конструктам нашего мышления, таким, как системы ИИ, и собственно мышление — это процессы, использующие разные механизмы формализации. При этом первые можно назвать вторичными по отношению ко вторым.
Что это за механизмы формализации? Человеческие мышление маркирует все то, что уже формализовано, но каков механизм первичной формализации? Проблемы с ИИ начинаются тогда, когда становится понятно, что семантика собственной формализации, выполненной ИИ, никогда не будет признана совместимой с человеческой. Ранее я указывал на эту проблему на примере интеллекта дельфинов. Сегодня предпочитают говорить о прикладных горизонтах вычислительных систем, а не о «совместимости» интеллектов.
Я хочу обратить внимание на «ускользающую каузальность» в сфере психической активности человека в противовес «заданной каузальности» ИИ. Как только мы допускаем тот же механизм «ускользающей казуальности» для ИИ, то приходим к разрыву в интеллектуальной совместимости. Исходное же стремление человека навязать ИИ алгоритмическую основу, копирующую наше мышление, ожидаемо заводит нас в тупик.
Что я понимаю под «ускользающей каузальностью»?
Вспомним, как мы выделяем систему — мы делаем это произвольно, руководствуясь неким пред-заданным списком системообразующих факторов. Это настолько динамическая и условная операция, что она вместе со своей формализующей мощью сплошь и рядом вводит нас в заблуждение. В случаях с хорошо описанными функциями системы мы склонны забывать, что система выделена/ограничена условно. Самыми яркими примерами такого заблуждения являются человеческое мышление и идея ИИ. (Разумеется, их на самом деле очень много.) Удивительно, что очевидная неполнота описания столь сложных систем не настораживает нас, заставляя задаться простым вопросом: как именно мы ограничили систему, и не выплеснули ли мы вместе с грязной водой ребенка?
Компьютер является очень хорошим примером функционального выделения системы: мы без проблем, в соответствии с обстоятельствами, выделяем локальный софт, облачный софт, «железо», при случае можем мыслить это все вместе как единую систему, а иногда включаем туда и пользователя. Тем не менее, в случае с компьютером ограничения вроде как очевидны. Например, программы не могут само-модифицироваться неким неучтенным программистом образом. «Железо» не должно влиять на исполнение программ. И так далее. Эта «заданная каузальность» - случай, когда выход за пределы ограничений не предусматривается. Неполнота описания по Геделю для таких систем нас не напрягает до тех пор, пока не поднимается вопрос о конкуренции их с естественным интеллектом.
В случае с нашим мышлением дело обстоит не так просто.
Для психики/мышления система описана не полностью, и полный список ее системообразующих факторов не может быть составлен в принципе — в этом вся соль. Начнем с того, что список этот огромен, и некоторые его составляющие находятся в противоречии между собой по признаку соответствия какой-то одной, целостной формальной системе — совсем не так, как в случае компьютера, где малейшее отклонение от единой формальной концепции приводит к прекращению функции в целом.
Мозг сам составляет свой системообразующий список, исходя из имеющихся в его распоряжении формализаций. Однако мозг не делает эти формализации произвольным — читай доступным его анализу (да что там анализу — просто внутреннему отражению) - способом. Поэтому я называю каузальность мышления «ускользающей».
Причина этого, надо понимать, кроется в конструкции аппарата мышления как вычислительной машины — она принципиально иная, чем те концепции вычислительных машин, которые создает сам мозг. Если назвать способ нашего мышления «гёделизирующим», то системы, спроектированные им, не могут быть «гёделизирующими» без того, чтобы привести к неустранимому семантическому разрыву в коммуникации между ними. Тем не менее, они могут быть в принципе «гёделизирующими», ибо, как верно заметил профессор Преображенский «...Зачем нужно искусственно фабриковать Спиноз, когда любая баба может его родить когда угодно?». Разумеется, если мышление считать причастным к запуску процесса, приводящего к такому результату :)
Иными словами, если в систему включена вся ее структура, не ограниченная пред-заданным функциональным набором, то в такой системе не исключен процесс «гёделизации». Но так далеко сегодня мыслители пока что идти отказываются — сказывается тяжелое наследие дихотомического мышления и общепринятая в науке (но фундаментально порочная) концепция «наблюдателя»
Вернемся теперь к ПМ.
Его формальное представление в системе возникает только тогда, когда система может формализовать представление о себе как о части целого, в которое она входит. Представление о ПМ приводит (автоматически сопряжено) к требованию неограниченной гёделизации. Именно к этому удивительному феномену я обращаюсь в данном тексте.
Если в математике гёделизация ведет к расширению мощности описания, то в приложении к реальным системам это обозначает расширение списка системообразующих факторов за счет выявления более базовых элементов каузальной цепочки в функциональности системы. В качестве простой модели подойдет прямая линия с условной разделительной точкой, с одной стороны которой находятся формализации функций системы, уходящие вдаль от точки по мере увеличения степени их участия в разнообразных манипуляциях (сочетаниях), с другой стороны, для системы находится терра инкогнита, которая, однако, поставляет новые формализации за счет сдвига точки вглубь неизвестности.
Это совершенно примечательная модель, так как она не предусматривает никакого каузального действия со стороны имеющихся формализаций. Причина движения точки, если таковое происходит, никак не связано с формальной проявленностью системы, иными словами — с самой системой. Смещать точку — не наш свободный выбор.
Поэтому, не имеет никакого значения, где мы (система) поместим источник неалгоритмических функций мышления — в микротрубочках или где-то еще. Как только мы его где-то поместим, то обнаружим сдвиг точки, новый набор формализаций, но ПМ останется там же и в том же виде, что и раньше. Программа Пенроуза обречена на неудачу, во всяком случае, в ее философском аспекте. В математическом, впрочем, тоже.
В сфере интереса системы, имеющей представление о ПМ, таким образом, остается только движение точки-терминатора. Так как же быть с «пониманием» ПМ? ПМ «понимается» только тогда, когда происходит сдвиг точки, и только на это время. Приток новых формализаций в данном случае и есть понимание.
Я думаю, и этой мысли посвящен весь мой журнал, что движение точки-терминатора в сторону порождающей системный формализм каузальности является глобальным эволюционным процессом в проявленной реальности. Это не циклическая эволюция, это исполняющаяся математическая функция, имеющая предел. Нас сбивает с толку то, что нам кажется - исполнение носит и статистический, и вообще редкий на сегодняшний день характер. Статистичность (и кажущаяся хаотичность) процесса заставляет некоторых думать, что это не строго направленный процесс. А трудность его наблюдения и вовсе позволяет о нем не думать.
Между тем, расширение списка системообразующих факторов мышления человека, взятое де-факто на фоне реальной активности человека, а не как список-по-соглашению среди узких специалистов, слишком очевидным образом связан с комплексными изменениями в социуме, которые дали основание говорить о приближающейся сингулярности.
Вызывает удивление, что даже устраивая международные конференции по сингулярности, вопрос о вычислении фундаментальных причин происходящего неизменно сводят в лучшем случае к легко отслеживаемым причинам человеческой активности, что тривиально, а в худшем — к фантазиям на тему о радужных перспективах «после». Мне это чем-то напоминает веру в загробную жизнь.
¹Формализацией я называю здесь само-манифестацию, которая может быть включена в дальнейшие (более высокого уровня) само-манифестации. Так, на сегодняшний день нам не известны системы, которые бы включали в себя в формально описуемом виде волновые функции, и мы вынуждены включать только их статистическое описание. То же, что является каузальным для ВФ, и вовсе не подлежит пока никакому описанию. («Описание» - включенность в само-манифестацию (См. предыдущий пост)).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-12-31 05:36 am (UTC)Зы "Сепульки — важный элемент цивилизации ардритов с планеты Энтеропия"
no subject
Date: 2013-12-31 05:39 am (UTC)Да, это распространенный миф.
no subject
Date: 2013-12-31 08:01 am (UTC)== Для психики/мышления система описана не полностью, и полный список ее системообразующих факторов не может быть составлен в принципе — в этом вся соль.
- нужно сопоставить с такими функциями как дрессировка, тренировка, в общем формализация интеллектуальной реакции. Общая, условно скажем, "рассеянность" интеллекта - это существенная его составляющая, но она не есть значимое начало интеллектуальной способности, поскольку интеллект учитывая эту особенность, обращает на нее активность самопреодоления. То есть интеллект - изначально дезорганизован, но построен с расчетом на преодоление подобной своей особенности в процессе самоорганизации.
Я понимаю, это важно.
no subject
Date: 2013-12-31 09:03 am (UTC)Предлагаю поднять бокалы за приближающуюся сингулярность и пожелать всем успешной гёделизации в новом 2014 году!
no subject
Date: 2013-12-31 01:10 pm (UTC)"Многое говорит за то, что результаты Гёделя демонстрируют нечто большее, — а именно, доказывают, что способность человека к пониманию и постижению сути вещей невозможно свести к какому бы то ни было набору вычислительных правил. Иными словами, нельзя создать такую систему правил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже тех арифметических положений, истинность которых, в принципе, доступна для человека с его интуицией и способностью к пониманию, а это означает, что человеческие интуицию и понимание невозможно свести к какому бы то ни было набору правил."
Под геделизацией имеется в виду способность мышления преодолевать геделевское ограничение.
no subject
Date: 2013-12-31 01:11 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-31 01:12 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-31 01:18 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-31 01:28 pm (UTC)Это Вы серьезно что ли? Нет никаких таких ограничений. Пенроуз в этом, безусловно, ничего не понимает. Зря он так подмочил свою репутацию, там где он пишет по физике, всё гораздо профессиональней.
"Арифметические положения", кстати, вполне себе доказаны, что бы там Пенроуз себе не думал :)
Зы. Вообще-то "геделизацией" обычно называют геделевский алгоритм нумерации высказываний, откуда и моё удивление :)
no subject
Date: 2013-12-31 01:34 pm (UTC)«"геделизацией" обычно называют геделевский алгоритм нумерации высказываний»
Есть контекст — какие проблемы?
no subject
Date: 2013-12-31 01:47 pm (UTC)Конечно, он, судя по всему, не слышал даже про Генцена.
Странно только, что Вас в гугле забанили.
no subject
Date: 2013-12-31 02:11 pm (UTC)no subject
Date: 2013-12-31 02:27 pm (UTC)Почему вдруг не имеют? - вполне себе имеют. Конечно, понятие полноты там будет несколько другое, но почему мы должны ограничиваться чисто финитными понятиям?
Или это у Вас религия такая и надо жить по канону?
== но я предпочел бы придерживаться темы.
Так в чем тема-то? Теорема Геделя и всё, что вокруг неё, имеет смысл только в рамках финитной программы обоснования математики. Вне этих рамок она не имеет ни малейшего смысла. Она не только к мышлению, но к математике не имеет никакого отношения (вне вот этой финитной программы).
Так что такое "геделизация" тогда - это выход за рамки гильбертовской финитной программы? Так её еще в 30-е годы похоронили, и даже усилия Генцена по её спасению никто не оценил. Гедель - это история (мета)математики, и ничего там больше нет.
no subject
Date: 2013-12-31 03:01 pm (UTC)Иходя из контекста моей темы: если бесконечности и приложимы каким-то образом к интерпретациям реальности, то это надо очень аккуратно показать. Физики, к примеру, все не-финитные случаи в математическом описании явлений называют «дурной бесконечностью» и считают это индикатором неадекватности описания.
Пенроуз правильно использовал теорему Геделя о неполноте в контексте своих усилий. Он поставил совершенно конкретный, практический вопрос: где находится источник решений, позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы.
Общие проблемы математики, на которые вы справедливо обратили внимание, не имеют к этому вопросу прямого отношения, если только вы не сможете убедительно показать обратное.
no subject
Date: 2013-12-31 03:19 pm (UTC)??? Кто это Вам сказал :) Вы еще скажите, что они числом пи не пользуются. Дурная бесконечность - это когда ряд не сходится, а про финитность они и знать не знают, как и математики, впрочем. Это ведь всего лишь выдумка Гильберта.
== позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы.
Т.е. в современной математике не существует формальных систем. Я правильно понял? Ведь большинство доказательств в математике не финитно.
no subject
Date: 2013-12-31 04:01 pm (UTC)То, что в современной математике используются нефинитные методы, никак не противоречит поискам Пенроуза: важно, какие решения относительно реальных функций вы будете получать. Более того, тот факт, что мышление пришло к необходимости использования нефинитной математики делает вопрос Пенроуза законным.
Другое дело, если вы хотите сказать, что нефинитность разрешает алгоритмический тупик для систем типа ИИ, и моделирование всех функций мышления формальными методами более не считается проблемой... Тогда есть о чем поговорить.
Нефинитность в математике не тождественна неформальности вообще. Разве что намеренно допускается путаница с гильбертовским формализмом. Я говорю о формальном описании функций реальных систем, выполняемом ими самими. Вы же выступаете в роли стороннего «независимого» наблюдателя, что невозможно по определению правил выделения системы: психика, аппарат мышления выделяет себя, испытывая именно те проблемы, на которые указывает расширенное толкование теорем Геделя. (Разумеется, сами теоремы при этом используются только лишь как смысловые модели).
no subject
Date: 2013-12-31 04:30 pm (UTC)Да откуда Вы это взяли? Весь анализ - это работа с бесконечным. Без бесконечного физика просто невозможна.
А анализ, между прочим, в принципе не финтитен. Финитная физика (т.е. физика не пользующаяся прямо или опосредовано понятием актуальной бесконечности) опять же невозможна.
== важно, какие решения относительно реальных функций вы будете получать.
При чем тут решения вообще? Финитность - это про подход к доказательству, а не про "решения".
Т.е. когда говорят об геделевских ограничениях, то имеют в виду, что средства для доказательства ограничены определенными рамками, за которые запрещено выходить.
Физики тут вообще ни при чем, поскольку, во-первых, она не занимается доказательствами, во-вторых, им пофиг как обосновывались те или иные формальные системы, которыми они пользуются, лишь бы это работало.
А что Вы называете "финитностью" я вообще перестал понимать. Что такое у Вас - эта самая мистическая "финитность"?
= Более того, тот факт, что мышление пришло к необходимости использования нефинитной математики делает вопрос Пенроуза законным.
??? Не понял. Во-первых мышление туда не приходило, математика всегда была нефинитной. Во-вторых, как связана нефинитность математики с утверждениями П. про финитные системы?
== Нефинитность в математике не тождественна неформальности вообще
Тогда Вы не имеете оснований говорить:
"Пенроуз правильно использовал теорему Геделя о неполноте в контексте своих усилий. Он поставил совершенно конкретный, практический вопрос: где находится источник решений, позволяющих преодолеть текущую неполноту формального описания функций системы."
Поскольку ТГ не про любые формальные описания, а только про финитные (которые никому не интересны).
no subject
Date: 2013-12-31 04:57 pm (UTC)Хороший пример, возможно, поможет мне разобраться в ваших аргументах.
«А анализ, между прочим, в принципе не финтитен. Финитная физика (т.е. физика не пользующаяся прямо или опосредовано понятием актуальной бесконечности) опять же невозможна.»
Я не возражал против методов анализа. Я все время говорю о решениях (в естествознании).
«Финитность - это про подход к доказательству, а не про "решения".»
Хорошо, разделим это так. Не возражаю. Это не сказывается на смысле того, что я говорю.
«...лишь бы это работало»
В теоретической физике все не так просто.
«Во-первых мышление туда не приходило, математика всегда была нефинитной.»
Т.е., математика была дана людям на скрижалях?
«Во-вторых, как связана нефинитность математики с утверждениями П. про финитные системы?»
Я не хочу быть испорченным телефоном в случае с Пенроузом. Речь, насколько я понимаю, и уже обращал ваше внимание на это, идет о конкретном явлении, о котором Пенроуз пишет следующее:
«QI9. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления высказывания G (F) к любой системе F, какой мы в данным момент пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?
Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему F можно также обозначить через fq.) Теперь мы можем добавить к системе fi высказывание G(Fi), получив в результате новую систему ¥2, также, предположительно, обоснованную. Повторив данную процедуру, т. е. добавив к системе F2 высказывание G (F2), получим систему fs и т. д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему ¥ш, аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное множество высказываний {G (F0), G (Fi), G (F2), G (F3), ...}. Очевидно, что система ¥ш также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе ¥ш добавляется высказывание G(FW), в результате чего получается система Fw+1, к которой затем добавляется высказывание G (Fw+i), что дает систему ¥ш+2, и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему ¥ш2 (= ¥ш+ш), включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания G (F^), получим систему Fw2+i и т. д., а потом построим новую систему Fw3(= ¥ш2+ш}, включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему ¥ш±, после следующего повтора — систему ¥ш5 и т. д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это множество новых аксиом {G (F^), G (F^), G (Fw3), G (F^), ...} в новую формальную систему ¥шз(= ¥шш). Повторив всю процедуру, мы получим новую систему ¥шг+шз, затем — систему ¥Ш2+Ш2+Ш2 и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе ¥шз, которая также должна быть обоснованной.
no subject
Date: 2013-12-31 04:58 pm (UTC)Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от подобных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за незнания точного значения этих символов. Достаточно сказать, что описанную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее: мы получим формальные системы Fw<, F^s, ..., после чего придем к еще более обширной системе Fw«/, затем процесс продолжается до еще больших ординалов, например, шш" и т. д. — до тех пор, пока мы все еще способны на каждом последующем этапе понять, каким образом систематизировать все множество гёделизации, которые мы получили на данный момент. В этом и заключается основная проблема: для упомянутых нами «усилий, трудов и напряжений» требуется соответствующее понимание того, как должно систематизировать предыдущие гёделизации. Эта систематизация выполнима при условии, что достигаемый к каждому последующему моменту этап будет помечаться так называемым рекурсивным ординалом, что, в сущности, означает, что должен существовать определенный алгоритм, способный такую процедуру генерировать. Однако алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех рекурсивных ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует. Нам снова придется прибегать к пониманию.
Вышеприведенная процедура была впервые предложена Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации (а опубликована в [367])'8); там же Тьюринг показал, что любое истинное Щ-высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью многократной гёделизации, подобной описанной нами. (См. также [116].) Впрочем, воспользоваться этим для получения механической процедуры установления истинности ГЦ -высказываний нам не удастся по той простой причине, что механически систематизировать гёделизацию невозможно. Более того, невозможность «автоматизации» процедуры гёделизации как раз и выводится из результата Тьюринга. А в §2.5 мы уже показали, что общее установление истинности (либо ложности) ГЦ-высказываний невозможно произвести с помощью каких бы то ни было алгоритмических процедур. Так что, в поисках систематической процедуры, не доступной тем вычислительным соображениям, которые мы рассматривали до настоящего момента, многократная гёделизация нам ничем помочь не сможет. Таким образом, для вывода £f возражение Q19 угрозы не представляет.»
Еще раз обращаю ваше внимание: речь идет об очень конкретной процедуре над реальной системой, а не о методах и проблемах математики, в которых вы, безусловно, разбираетесь.
«Поскольку ТГ не про любые формальные описания, а только про финитные (которые никому не интересны).»
Кажется, приведенная выше цитата из Пенроуза отвечает на ваш вопрос. ТГ дает нам принцип, который нефинитность не обходит, когда речь заходит об анализе реальных систем. Нефинитность — это как раз то масло, которое на хлеб не намажешь.
no subject
Date: 2013-12-31 06:18 pm (UTC)У П. здесь незамутненный наукообразный бред. Практически, клинический.
Хотя, возможно, и переводчик поучаствовал, это надо всегда иметь в виду.
Если Вам интересно, могу конкретно расписать, что смешалось в его воспаленном мозгу и в каких пропорциях. Но в следующем году :)
С Новым годом!
no subject
Date: 2013-12-31 06:29 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-01 06:51 am (UTC)Прежде всего придется вспомнить про то, что делали Гедель и Тьюринг, на которых всё время ссылается П., буквально в двух словах.
Г. имел дело с формализацией доказательств а рамках гильбертовской программы обоснования математики. Таким образом, если говорить о теореме Геделя и всем таком, то надо понимать, что здесь Г. всегда имеет дело с двумя формальными системами - исходной (скажем система аксиом арифметики), назовем её I, и формальной системы доказательств, которые проводятся над исходной системой - S.
И те рассуждения (неформальные доказательства), которые проводит Г., относятся именно к этой системе S.
Здесь важно обратить внимание, как именно устроена эта вторая система (S) - для неё берутся те же аксиомы, что и для I, плюс правила вывода - логика первого порядка (или эквивалентная этой логике алгоритмическая машина у Тьюринга). Т.е. по существу I обосновывается сама из себя, что собственно и приводит к ТГ для формальных систем, включающих индукцию. Г. по существу доказывает, что обычная, финитная (не допускающая актуальной бесконечности) индукция не может обосновать сама себя (трансфинитная может). В этом и состоит ТГ. (более простые ФС, скажем, аксиомы арифметики без индукции, вполне обосновываются по Геделю, он сам это и доказал)
ТГ доказывается как раз через "геделизацию" (обратите внимание) всех высказываний S, т.е. всех возможных высказываний, формализующих доказательства теорем искомой системы (арифметики). Геделизация - это здесь особый алгоритм нумерования высказываний, когда уникальный номер (число, но ни в коем случае не ординал!) каждого высказывания выводится из состава и структуры самого этого высказывания.
После этого Г. строит такое число-высказывание, которое не выводимо в S, что и доказывает невозможность одновременной геделевской полноты и непротиворечивости для I, включающих арифметику (с финитной индукцией).
no subject
Date: 2014-01-01 06:51 am (UTC)Теперь можно перейти к ляпам П.
1) == мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы
??? Высказывание - это конструкция внутри той или иной системы аксиом, логической модели. "Добавление" высказывания (в рамках модели) - это одно, а изменение модели, добавление аксиомы - это совсем другое. Никакого такого формального "понимания", как добавить аксиому быть не может в принципе.
2) == и получить тем самым новую систему fi , которая также будет считаться обоснованной.
С какого перепоя? П. мало того, что перепутал понятия "высказывание" и "аксиома", так он еще и не понимает самого главного: новая аксиома - это новая ситуация, и все теперь должно обосновываться заново. Это ж совершенно очевидно. Так, возьмем, например, систему Пеано без индукции, Г. доказал, что она независима и полна (по Геделю, или, если угодно, по Гильберту). Но если мы добавим сюда аксиому индукции, то уже обосновать эту систему аксиом по Геделю невозможно.
Скорее всего, здесь П. "вспомнил" про то, что Гедель добавлял высказывания в качестве аксиом. Но там-то имелась в виду прямо противоположная ситуация - геделевский невыводимый конструкт добавлялся в неполную, т.е. не обоснованную систему, после чего доказывалось, что она всё равно не может быть полной (по Геделю). Причем надо иметь в виду, что это неконструктивное доказательство, то бишь реально добавить такую аксиому мы не можем, у нас её нет. Доказывается только её существование.
3) ==Достаточно сказать, что описанную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее
Слышал звон, да забыл где. П. действительно говорит о геделизации, но в оригинале-то речь шла о высказываниях в рамках фиксированной системы аксиом S. Нумеровались высказывания, а не аксиомы. И геделизация у Г. - это по существу метод доказательства. Нумерация же ("геделизация" еще в одних кавычках) аксиом - это просто чушь. Т.е. пронумеровать - это как раз не проблема, но в этом нет никакого смысла. Зачем это делать?
4) ==Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел.
Да, мы поняли, что у П. хорошая память на слова и он рад щегольнуть терминами, но у Геделя как раз нет никаких ординалов, в принципе нет. Поскольку если нумеровать через ординалы, то получиться трансфинитная индукция, а теоремы о неполноте не получится. Генцен как раз и обосновал арифметику, заменив обычную индукцию одним их вариантов трансфинитной.
5) == Однако алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех рекурсивных
ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует.
Для ординалов как раз и существует (если, конечно, помнить, что это про высказывания из S, а не про какие-то мифические аксиомы). Пальцем в небо.
Собственно, и для обычных числе вполне существует (если не пользоваться актуальной бесконечностью - совершенно непонятно, зачем П. берет мно-во всех "высказываний-аксиом" и что-то там пытается с этим делать. Видимо, опять где-то что-то слышал, но забыл где). Не может не существовать, для этого ведь и проводится геделизация - всем возможным высказываниям над S присваевается номер формальным образом.
В общем, П. просто не понимает, что пишет, перемешал всё до полной потери смысла.
Чего тут вообще обсуждать?
no subject
Date: 2014-01-01 02:57 pm (UTC)«новая аксиома - это новая ситуация, и все теперь должно обосновываться заново»
Разумеется, но разве именно не об этом пишет П.? Говоря об «очевидной обоснованности» он, надо полагать, имеет в виду принципиальную обоснованность в рамках нового набора аксиом, а не заданную конкретную, как ссылаетесь вы в своем примере с системой Пеано с аксиомой индукции. П. говорит о принципе. Какая тут проблема?
«добавлялся в неполную, т.е. не обоснованную систему»
Так вот в чем дело. Теперь, кажется, вы неправомерно отождествили «неполноту» и «необоснованность» - это совершенно разные вещи. Процедура называется обоснованной, если она дает верный ответ, в частности, относительно неполноты.
«в оригинале-то речь шла о высказываниях в рамках фиксированной системы аксиом S»
Но я сразу обратил ваше внимание на применение Пенроузом принципа геделевской непоноты, а не самой теоремы — он сам об этом пишет. Нам-то кто запрещает добавлять аксиомы?
«у Геделя как раз нет никаких ординалов»
Но это неважно, П. их ему не приписывает. Он говорит:
«Многое говорит за то, что результаты Гёделя демонстрируют нечто большее, — а именно, доказывают, что способность человека к пониманию и постижению сути вещей невозможно свести к какому бы то ни было набору вычислительных правил. Иными словами, нельзя создать такую систему правил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже тех арифметических положений, истинность которых, в принципе, доступна для человека с его интуицией и способностью к пониманию, а это означает, что человеческие интуицию и понимание невозможно свести к какому бы то ни было набору правил.»
У вас есть возражения против этого?
« получиться трансфинитная индукция»
Так я у вас и спрашиваю: метод трансфинитной индукции решает проблему ИИ (неалгоритмичности мышления)?
«обосновал арифметику»
Вы хотели сказать «доказал полноту»? Что может означать фраза «обосновать арифметику»?
«Чего тут вообще обсуждать?»
Спасибо за подробный разбор. К сожалению, он меня не убедил. Замечания типа «Пенроуз слышал звон», «Пенроуз забыл» этому не способствовали. Я вынужден принимать во внимание все составляющие информационной картины: П. возглавляет кафедру математики Оксфордского университета, более того, он известен как математик, более того, его цитируемая книга рецензировалась другими математиками, и ляпы, подобные «обнаруженным» вами тут просто не прошли бы. П. имеет репутацию пунктуального и дотошного ученого в среде профессионалов, что он неоднократно доказывал. Положения, которые он высказал в книге, формально не опровергнуты, хотя и не считаются вполне доказанными (он сам об этом говорит). В любом случае, это не на уровне «слышал звон». Возможно, вы представляете альтернативные взгляды, в том числе и на математику, тогда об этом не мешало бы сказать в самом начале, так как тема не является чисто математической, и вы просто сбиваете с толку :) Возможно, вы не знакомы с этой книгой, где сохраняется терминологическая консистентность, несмотря на возможные ляпы перевода.
Тем не менее, спасибо за обсуждение.
no subject
Date: 2014-01-01 03:44 pm (UTC)