== Однако, программа Гильберта провалилась, что можно ассоциировать с принципиальными изъянами в математике

Программа Гильберта не имела никакого отношения к математике.

== Для математики мы используем не аксиомы, а теоремы, причем — не доказанные формально. Поэтому математика и столкнулась с крахом программы Гильберта.

Не поэтому.

== Мы никак не можем усилить аксиоматическую мощность математики с тем, чтобы она без проблем моделировала реальность

Без проблем моделирует. Две коровы плюс две коровы будет четыре коровы. Как это не странно :)

== Проблема заключается в том, что доказательство Геделя срабатывает на нас, как формальных системах,

На Вас, может, и срабатывает, если Вы ограничиваетесь логикой предикатов первого порядка :) и не отличаете изображение стула от стула (формальная система - это всегда изображение, которое в принципе не тождественно объекту). А не мне -точно нет :)

зы. Пенроуза обсуждать по этой теме - маленьких обижать, он там вообще ничего не понимает. Он же физик, здесь он просто не компетентен.